Question

某學(xué)生社團(tuán)在對本校學(xué)生學(xué)習(xí)方法開展問卷調(diào)查的過程中發(fā)現(xiàn)，在回收上來的1000份有效問卷中，同學(xué)們背英語單詞的時間安排共有兩種：白天背和晚上臨睡前背．為研究背單詞時間安排對記憶效果的影響，該社團(tuán)以5%的比例對這1000名學(xué)生按時間安排糞型進(jìn)行分層抽樣，并完成一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)方法是，使兩組學(xué)生記憶40個無意義音節(jié)（如xIQ、GEH），均要求在剛能全部記清時就停止識記，并在8小時后進(jìn)行記憶測驗(yàn)．不同的是，甲組同學(xué)識記結(jié)束后一直不睡覺，8小時后測驗(yàn)；乙組同學(xué)識記停止后立刻睡覺，8小時后叫醒測驗(yàn)．兩組同學(xué)識記停止8小時后的準(zhǔn)確回憶（保持）情況如圖（區(qū)間含左端點(diǎn)而不舍右端點(diǎn)）

（1）估計1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止后8小時40個音節(jié)的保持率大于等于60%的人數(shù)；
（2）從乙組準(zhǔn)確回憶結(jié)束在|12，24）范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選3人，記能準(zhǔn)確回憶20個以上（含20）的人數(shù)為隨機(jī)變量x．求X分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）從本次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來看，上述兩種時間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好？計算并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用頻率分布直方圖能求出1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止8小時后40個音節(jié)保持率大于等于60%的人數(shù)為180人．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅲ）分別求出甲組學(xué)生的平均保持率和乙組學(xué)生平均保持率，由此得到臨睡前背單調(diào)記憶效果更好．

解答： 解：（1）∵1000×5%=50，
由甲圖知，甲組有4+10+8+4+2+1+1=30（人），
∴乙組有20人，
又∵40×60=24，
∴識記停止8小時后，40個音節(jié)的保持率大于等于60%的在甲組有1人，
乙組有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人），
∴（1+8）÷5%=180，
即估計1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止8小時后40個音節(jié)保持率大于等于60%的人數(shù)為180人．
（Ⅱ）由乙圖知，乙組在[12，24）之間有（0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人），
在[20，24）有0.075×4×20=6（人），
∴X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 4 C 0 6

C 3 10

=

1

30

，
P（X=1）=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

，
P（X=2）=

C 1 4 C 2 6

C 3 10

=

1

2

，
P（X=3）=

C 0 4 C 3 6

C 3 10

=

1

6

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

∴EX=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．
（Ⅲ）甲組學(xué)生準(zhǔn)確回憶音節(jié)共有：2×4+6×10+10×8+14×4+18×21+22×1+26×1=288個，
∴甲組學(xué)生的平均保持率為：

1

40

×

288

30

=0.24．
乙組學(xué)生準(zhǔn)確回憶音節(jié)數(shù)共有：
（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432個，
∴乙組學(xué)生平均保持率為

432

40×20

=0.54＞0.24，
∴臨睡前背單調(diào)記憶效果更好．

點(diǎn)評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題是中檔題．