Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=3+2ⁿ，
（1）求a_n；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=lga_n，數列{b_n}從第2項起，成等差數列還是等比數列？證明你的結論．

Answer 1

考點：等差關系的確定,數列的函數特性,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據數列的遞推關系即可得到結論．
（2）根據等差數列和等比數列的定義進行證明即可．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和S_n=3+2ⁿ，
∴當n≥2，a_n=S_n-S_n-1=3+2ⁿ-（3+2^n-1）=2^n-1，
當n=1時，a₁=S₁=3+2=5不滿足a_n=2^n-1，
故a_n=

5，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）當n≥2時，b_n=lga_n=b_n=lg2^n-1=（n-1）lg2，
則當n≥3時，b_n-b_n-1═（n-1）lg2-（n-2）lg2=lg2為常數，
故數列{b_n}從第2項起，成等差數列．

點評：本題主要考查數列的通項公式以及等差數列和等比數列的判斷，根據當n≥2，a_n=S_n-S_n-1的關系求出 數列的通項公式是解決本題的關鍵．