【題目】設(shè)函數(shù),,其中為實(shí)數(shù).
(1)若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;
(2)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)
(2)當(dāng)或時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
【解析】
(1)∵,考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,故,進(jìn)而解得
,即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理,在上是單調(diào)增函數(shù).
由于在是單調(diào)減函數(shù),故,從而,即.
令,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
又在上有最小值,所以,即,
綜上所述,.
(2)當(dāng)時(shí),必是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),令,
解得,即,
∵在上是單調(diào)函數(shù),類似(1)有,即,
綜合上述兩種情況,有.
①當(dāng)時(shí),由以及,得存在唯一的零點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),由于,,且函數(shù)在上的圖象不間斷,∴在是單調(diào)增函數(shù),∴在上存在零點(diǎn). 另外,當(dāng)時(shí),,則在上是單調(diào)增函數(shù),只有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí),令,解得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. ∴是的最大值點(diǎn),且最大值為.
1)當(dāng),即時(shí),有一個(gè)零點(diǎn).
2)當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn). 實(shí)際上,對(duì)于,由于,,且函數(shù)在上的圖象不間斷,∴在上存在零點(diǎn).
另外,當(dāng)時(shí),,故在上是單調(diào)增函數(shù),∴在上有一個(gè)零點(diǎn).
下面需要考慮在上的情況,先證,
為此,我們要證明:當(dāng)時(shí),,設(shè),則,再設(shè),則.
當(dāng)時(shí),,∴在上是單調(diào)增函數(shù),
故當(dāng)時(shí),,從而在上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)
時(shí),,即當(dāng)時(shí),.
當(dāng),即時(shí),,又,且函數(shù)
在的圖象不間斷,∴在上存在零點(diǎn).
又當(dāng)時(shí),,故在是單調(diào)減函數(shù),所以,在上只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)或時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥AB,PA=1,PC=3,BC=2,sin∠PCA,E,F,G分別為線段的PC,PB,AB中點(diǎn),且BE.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若M為線段BC上一點(diǎn),求三棱錐M﹣EFG的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,我市某居民小區(qū)擬在邊長(zhǎng)為1百米的正方形地塊上劃出一個(gè)三角形地塊種植草坪,兩個(gè)三角形地塊與種植花卉,一個(gè)三角形地塊設(shè)計(jì)成水景噴泉,四周鋪設(shè)小路供居民平時(shí)休閑散步,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,記.
(1)當(dāng)時(shí),求花卉種植面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求的最小值;
(2)考慮到小區(qū)道路的整體規(guī)劃,要求,請(qǐng)?zhí)骄?/span>是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=an+6n+3,數(shù)列{bn}滿足bn=n,則數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為第_____項(xiàng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題
①四面體中,,,則
②已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為2
③若正數(shù)和滿足,則
④向量,若存在實(shí)數(shù),使得,則
其中真命題的序號(hào)是______(寫出所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形,E為AD的中點(diǎn),以CE為折痕把△DEC折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,且點(diǎn)P的射影O落在線段AC上.
(1)求;
(2)求幾何體P﹣ABCE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為;
(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0),若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且|PA||PB|=1,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校的名高三學(xué)生參加了天一大聯(lián)考,為了分析此次聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的情況,現(xiàn)隨機(jī)從中抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分:分),并繪制成如圖所示的莖葉圖.將成績(jī)低于分的稱為“不及格”,不低于分的稱為“優(yōu)秀”,其余的稱為“良好”.根據(jù)樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的情況.
(1)估算此次聯(lián)考該校高三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科的平均成績(jī).
(2)估算此次聯(lián)考該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)“不及格”和“優(yōu)秀”的人數(shù)各是多少.
(3)在國(guó)家扶貧政策的倡導(dǎo)下,該地教育部門提出了教育扶貧活動(dòng),要求對(duì)此次數(shù)學(xué)成績(jī)“不及格”的學(xué)生分兩期進(jìn)行學(xué)業(yè)輔導(dǎo):一期由優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行一對(duì)一幫扶輔導(dǎo),二期由老師進(jìn)行集中輔導(dǎo).根據(jù)實(shí)踐總結(jié),優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行一對(duì)一輔導(dǎo)的轉(zhuǎn)化率為;老師集中輔導(dǎo)的轉(zhuǎn)化率為,試估算經(jīng)過兩期輔導(dǎo)后,該校高三學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)匀徊患案竦娜藬?shù).
注:轉(zhuǎn)化率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年6月14日,世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕,世界杯給俄羅斯經(jīng)濟(jì)帶來了一定的增長(zhǎng),某紀(jì)念商品店的銷售人員為了統(tǒng)計(jì)世界杯足球賽期間商品的銷售情況,隨機(jī)抽查了該商品商店某天200名顧客的消費(fèi)金額情況,得到如圖頻率分布表:將消費(fèi)顧客超過4萬盧布的顧客定義為”足球迷”,消費(fèi)金額不超過4萬盧布的顧客定義為“非足球迷”。
消費(fèi)金額/萬盧布 | 合計(jì) | ||||||
顧客人數(shù) | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)(同一組中的消費(fèi)金額用該組的中點(diǎn)值作代表;
(2)該紀(jì)念品商店的銷售人員為了進(jìn)一步了解這200名顧客喜歡紀(jì)念品的類型,采用分層抽樣的方法從“非足球迷”,“足球迷”中選取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,則選取的3人中“非足球迷”人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。
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