Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個焦點為F（2，0），且離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線l過點F，且與橢圓交于A，B兩點，為直線x=3上的一點，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得c=2，

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）直線l的方程為y=k（x-2）．聯(lián)立方程組

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1.

，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．由此利用韋達定理、橢圓弦長公式結(jié)合等邊三角形性質(zhì)能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個焦點為F（2，0），且離心率為

6

3

．
∴c=2，

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，
解得a²=6，b²=2．
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1． 
（Ⅱ）直線l的方程為y=k（x-2）．
聯(lián)立方程組

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1.

，消去y并整理，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x1+x2=

12k2

3k2+1

，x1x2=

12k2-6

3k2+1

．
則|AB|=

1+k2

|x1-x2 |
=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 6 (k2+1)

3k2+1

．
設AB的中點為M（x₀，y₀）．
可得x0=

6k2

3k2+1

，y0=-

2k

3k2+1

．
直線MP的斜率為-

1

k

，又 x_P=3，
所以|MP|=

1+ 1 k2

•|x0-xP|=

k2+1 k2

•

3(k2+1)

(3k2+1)

．
當△ABP為正三角形時，|MP|=

3

2

|AB|，
∴

k2+1 k2

•

3(k2+1)

(3k2+1)

=

3

2

•

2 6 (k2+1)

3k2+1

，
解得k=±1．
∴直線l的方程為x-y-2=0，或x+y-2=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．