Question

（2013•萊蕪二模）如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)A，離心率為

1

2

，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，若S△PF1A：S△PF1F2=2：1則直線PF₁的斜率為

3

5

．

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程，利用S△PF1A：S△PF1F2=2：1，可得A到直線PF₁的距離是F₂到直線PF₁的2倍，利用橢圓的離心率，即可求得直線PF₁的斜率．

解答：解：設(shè)直線PF₁的斜率為k，則直線PF₁的直線方程為y=k（x+c），即kx-y+kc=0
∵S△PF1A：S△PF1F2=2：1
∴A到直線PF₁的距離是F₂到直線PF₁的2倍
∴

|-b+kc|

k2+1

=2×

|2kc|

k2+1

∴|-b+kc|=4|kc|
∵離心率為

1

2

，
∴

c2

a2

=

1

4

∴b=

3

c
∴|k-

3

|=4|k|
∴k=-

3

3

或k=

3

5

∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，
∴k=

3

5

故答案為

3

5

點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．