解:(1)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261996.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261997.png)
∴f(1)=a+a-1+c=2a-1+c.
又∵點(diǎn)(1,f(1))在切線y=x-1上,
∴2a-1+c=0?c=1-2a,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261998.png)
.
(2)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/261999.png)
,
f(x)≥lnx在[1,+∞]上恒成立,
設(shè)g(x)=f(x)-lnx,則g(x)=f(x)-lnx≥0在[1,+∞]上恒成立,
∴g(x)
min≥0,
又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262000.png)
,
而當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262001.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6677.png)
.
1°當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262002.png)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/466.png)
時(shí),
g'(x)≥0在[1,+∞]上恒成立,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262003.png)
;
2°當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/135181.png)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2020.png)
時(shí),
g'(x)=0時(shí)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262004.png)
;
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262005.png)
時(shí),g'(x)<0,
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262006.png)
時(shí),g'(x)>0;
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262007.png)
①,
又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262008.png)
與①矛盾,不符題意,故舍.
∴綜上所述,a的取值范圍為:[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,+∞).
(3)證明:由(1)可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/466.png)
時(shí),f(x)≥lnx在[1,+∞]上恒成立,
則當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6677.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262009.png)
在[1,+∞]上恒成立,
令x依次取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262010.png)
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7075.png)
時(shí),
則有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262011.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262012.png)
,
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262013.png)
,
由同向不等式可加性可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262014.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262015.png)
,
也即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262016.png)
,
也即1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
>ln(n+1)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18060.png)
(n≥1).
解法二:①當(dāng)n=1時(shí)左邊=1,右邊=ln2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
<1,不等式成立;
②假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,就是1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5688.png)
>ln(k+1)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262017.png)
(k≥1).
那么1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5688.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16334.png)
>ln(k+1)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262017.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16334.png)
=ln(k+1)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262018.png)
.
由(2)知:當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/466.png)
時(shí),有f(x)≥lnx (x≥1)
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6677.png)
有f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262009.png)
(x≥1)
令x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/176257.png)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262019.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262020.png)
∴1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5688.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16334.png)
>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262021.png)
這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
根據(jù)(1)和(2),可知不等式對(duì)任何n∈N
*都成立.
分析:(1)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率,切點(diǎn)在切線上,求出b,c即可.
(2)利用f(x)≥lnx,構(gòu)造g(x)=f(x)-lnx,問題轉(zhuǎn)化為g(x)=f(x)-lnx≥0在[1,+∞]上恒成立,
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[1,+∞)上的最小值大于0,求a的取值范圍;
(3)由(1)可知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/466.png)
時(shí),f(x)≥lnx在[1,+∞]上恒成立,則當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6677.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/262009.png)
在[1,+∞]上恒成立,
對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng),然后求和,即可推出要證結(jié)論.
解法二:利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,證明不等式成立即可.
點(diǎn)評(píng):本題是難題,考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,曲線切線的斜率,恒成立問題的應(yīng)用,累加法與裂項(xiàng)法的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用等知識(shí),知識(shí)綜合能力強(qiáng),方法多,思維量與運(yùn)算良以及難度大,需要仔細(xì)審題解答,還考查分類討論思想.