Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，其右焦點(diǎn)F到其右準(zhǔn)線的距離為1，離心率為，A，B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，直線與交于點(diǎn)Q.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出等式：，，聯(lián)立即得解；

（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式表示，代入求解即可；

（3）設(shè)，，表示方程，聯(lián)立得到的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，利用坐標(biāo)表示，可得證.

（1）解：由題意可知，所以，，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：因?yàn)橹本�l不與x軸重合，所以斜率不為0.

因?yàn)?/span>l過(guò)點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為.

由，得.

設(shè)，，則，，

則

因?yàn)?/span>，所以，得，所以，

所以直線l的方程為

（3）證明：在中令得，所以.

而直線的方程為，直線的方程為.

由此得到

.

不妨設(shè)，則①，②，

所以③.

將①②③代入式，得

，

所以為定值