Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²-4n+4，（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}中，令b_n=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=b₁2¹+b₂2²+b₃2³+…+b_n2ⁿ，求T_n；
（3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的正整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)．令c_n=1-

a

an

（n為正整數(shù)），求數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n與s_n的關(guān)系求通項(xiàng)公式；
（2）由題意得b_n=n，Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）根據(jù)變好數(shù)的定義，列出不等式求解即可．

解答： 解：（1）∵Sn=n2-4n+4，∴S₁=1…（1分）
又當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-5…（3分）
所以an=Sn-Sn-1=

1，  n=1 2n-5，n≥2

…（4分）
（2）∵bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，
∴b_n=n，…（5分）Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n…（6分）
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，
∴Tn=(n-1)2n+1+2…（9分）
（3）解法一：由題設(shè)cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

…（10分）
∵n≥3時(shí)，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3時(shí)，數(shù)列{c_n}遞增…（12分）
∵a4=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0⇒n≥5，可知a₄•a₅＜0，即n≥3時(shí)，有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù)；
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)．…（13分）
綜上，數(shù)列{c_n}共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3．…（14分）
解法二：由題設(shè)cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

…（10分）
n≥2時(shí)，令cn•cn+1＜0⇒

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0⇒

3

2

＜n＜

5

2

或

7

2

＜n＜

9

2

⇒n=2或n=4；
又∵c₁=-3，c₂=5，∴n=1時(shí)也有c₁•c₂＜0．…（13分）
綜上得：數(shù)列{c_n}共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3．    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和知識(shí)，考查公式法及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用能力和學(xué)生的運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題．