Question

已知成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

bn

2n-3(n+1)n

}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列求出中間項(xiàng)，通過這三個(gè)數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列，求出公差，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)

bn

2n-3(n+1)n

為兩個(gè)表達(dá)式的差，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解前n項(xiàng)和為S_n．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a-d，a，a+d，
∴a-d+a+a+d=15，
解得a=5…（2分）
三個(gè)數(shù)為5-d，5，5+d為正數(shù)，-5＜d＜5，
由題意知b₃=7-d，b₄=10，b₅=18+d成等比數(shù)列，…（4分）
∴10²=（7-d）（18+d），
∴d=2或 d=-13（舍），
∴b₃=5，b₄=10，b₅=20．…（6分）
∴bn=b3qn-3=5•2n-3；…（8分）
（2）由題意知

bn

2n-3(n2+n)

=

5•2n-3

2n-3(n2+n)

=5(

1

n

-

1

n+1

)…（10分）
Sn=5(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=5(1-

1

n+1

)=

5n

n+1

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和分方法，是中檔題．