Question

【題目】已知圓C的方程為：x2+y2=4
（1）求過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與圓C相切的直線(xiàn)l的方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D（1，2），且與圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若|AB|=2 ，求直線(xiàn)l的方程；
（3）圓C上有一動(dòng)點(diǎn)M（x0 ， y0）， =（0，y0），若向量 = + ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)k不存在時(shí)，x=2滿(mǎn)足題意；

當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y﹣1=k（x﹣2），

由 =2得，k=﹣ ，

則所求的切線(xiàn)方程為x=2或3x+4y﹣10=0

（2）解：當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)方程為x=1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）和（1，﹣ ），這兩點(diǎn)的距離為2 ，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，

設(shè)圓心到此直線(xiàn)的距離為d，

∴d= =1，即 =1，

解得：k= ，

此時(shí)直線(xiàn)方程為3x﹣4y+5=0，

綜上所述，所求直線(xiàn)方程為3x﹣4y+5=0或x=1

（3）解：設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），

∵M(jìn)（x0，y0）， =（0，y0）， = + ，

∴（x，y）=（x0，2y0），

∴x=x0，y=2y0，

∵x02+y02=4，

∴x2+（ ）2=4，即 + =1

【解析】（1）分兩種情況考慮：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)x=2滿(mǎn)足題意；當(dāng)k存在時(shí)，變形出l方程，利用圓心到l的距離d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)l方程，綜上，得到滿(mǎn)足題意直線(xiàn)l的方程；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)方程為x=1，直線(xiàn)l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)距離為2 ，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y﹣2=k（x﹣1），求出圓心到直線(xiàn)l的距離d=1，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)直線(xiàn)方程，綜上，得到滿(mǎn)足題意直線(xiàn)l的方程；（3）設(shè)Q（x，y），表示出 ， ，代入已知等式中化簡(jiǎn)得到x=x0 ， y=2y0 ， 代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程．