【題目】如圖,矩形ABCD是某小區(qū)戶外活動空地的平面示意圖,其中AB=50米,AD=100米,現(xiàn)擬在直角三角形OMN內栽植草坪供兒童踢球娛樂(其中,點O為AD的中點,OM⊥ON,點M在AB上,點N在CD上),將破舊的道路AM重新鋪設.已知草坪成本為每平方米20元,新道路AM成本為每米500元,設∠OMA=θ,記草坪栽植與新道路鋪設所需的總費用為f(θ).
(1)求f(θ)關于θ函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(2)為節(jié)約投入成本,當tanθ為何值時,總費用 f(θ)最?
【答案】(1)f(θ)=,其定義域為;(2)
【解析】試題分析:(1)在RtOAM中,解出,在RtODN中求出ON=,故可得,由題意當點M與點B重合時,θ取最小值;當點N與點C重合時,θ取最大值,即,故可得最后結果;(2)由(1)可得,對其求導,利用導數(shù)判斷其單調性得其最值.
試題解析:(1)據(jù)題意,在RtOAM中,OA=50,∠OMA=θ,所以AM=,OM=,據(jù)平面幾何知識可知∠DON=θ,在RtODN中,OD=50,∠DON=θ,所以ON=,所以f(θ)=== ,據(jù)題意,當點M與點B重合時,θ取最小值;當點N與點C重合時,θ取最大值,所以,所以f(θ)=,其定義域為.
(2)由(1)可知,f(θ)=, , ===,
令=0,得,其中,列表:
θ | |||||
↘ | 極小值 | ↗ |
所以當時,總費用 f(θ)取最小值,可節(jié)約投入成本.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= 且an+1= .設bn+2=3 ,數(shù)列{cn}滿足cn=anbn .
(1)求數(shù)列{bn}通項公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤ +m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線經過點,傾斜角,圓的極坐標方程.
(1)寫出直線的參數(shù)方程,并把圓的方程化為直角坐標方程;
(2)設圓上的點到直線的距離最近,點到直線的距離最遠,求點的橫坐標之積.
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【題目】已知圓C的方程為:x2+y2=4
(1)求過點P(2,1)且與圓C相切的直線l的方程;
(2)直線l過點D(1,2),且與圓C交于A、B兩點,若|AB|=2 ,求直線l的方程;
(3)圓C上有一動點M(x0 , y0), =(0,y0),若向量 = + ,求動點Q的軌跡方程.
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【題目】已知二次函數(shù)為偶函數(shù)且圖象經過原點,其導函數(shù)的圖象過點.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設函數(shù),其中m為常數(shù),求函數(shù)的最小值.
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【題目】已知集合A={x|y= },B={y|y=x ,x∈R},C={x|mx<﹣1},
(1)求R(A∩B);
(2)是否存在實數(shù)m使得(A∩B)C成立,若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】若直角坐標平面內的兩點P、Q滿足條件:
①P、Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;
②P、Q關于原點對稱,則稱點對[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對“友好點對”(點對[P,Q]與[Q,P]看作同一對“友好點對”),
已知函數(shù)f(x)= ,則此函數(shù)的“友好點對”有( )
A.0對
B.1對
C.2對
D.3對
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【題目】若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式.
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+(4﹣2a)x+2(x∈[1,2]),求函數(shù)g(x)的最小值h(a).
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