【題目】如圖,矩形ABCD是某小區(qū)戶外活動空地的平面示意圖,其中AB=50米,AD=100米,現(xiàn)擬在直角三角形OMN內栽植草坪供兒童踢球娛樂(其中,點OAD的中點,OMON,點MAB上,點NCD),將破舊的道路AM重新鋪設.已知草坪成本為每平方米20元,新道路AM成本為每米500元,設∠OMAθ,記草坪栽植與新道路鋪設所需的總費用為f(θ).

(1)求f(θ)關于θ函數(shù)關系式,并寫出定義域;

(2)為節(jié)約投入成本,當tanθ為何值時,總費用 f(θ)最?

【答案】(1)f(θ),其定義域為;(2

【解析】試題分析:1)在RtOAM中,解出,在RtODN中求出ON,故可得,由題意當點M與點B重合時,θ取最小值;當點N與點C重合時,θ取最大值,即,故可得最后結果;(2)由(1)可得,對其求導,利用導數(shù)判斷其單調性得其最值.

試題解析:(1)據(jù)題意,在RtOAM中,OA50OMAθ,所以AM,OM據(jù)平面幾何知識可知∠DONθ,RtODN中,OD50DONθ,所以ON所以f(θ) ,據(jù)題意,當點M與點B重合時,θ取最小值;當點N與點C重合時,θ取最大值,所以,所以f(θ),其定義域為

2)由(1)可知,f(θ), , ,

0,得,其中,列表

θ

極小值

所以當時,總費用 f(θ)取最小值,可節(jié)約投入成本.

練習冊系列答案
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