Question

(本小題滿分l2分)
已知函數(shù)
（1）若，求函數(shù)的極小值；
（2）設(shè)函數(shù)，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量使得的值相等，若存在，請(qǐng)求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

（1）極小值   （2）不存在

解析試題分析：（I）由已知得， 
則當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，
故函數(shù)的極小值為；
(Ⅱ)若存在，設(shè)，則對(duì)于某一實(shí)數(shù)，方程在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，
則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解
，
則，
設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，即，
又，則故在上是增函數(shù)，
則至多只有一個(gè)解，故不存。
方法二：關(guān)于方程的解，
當(dāng)時(shí)，由方法一知，此時(shí)方程無解；
當(dāng)時(shí)，可以證明是增函數(shù)，此方程最多有一個(gè)解，故不存在。
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；極值；函數(shù)的零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．