Question

【題目】已知，直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，這兩條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積為.

（1）證明：，并求定點(diǎn)、的坐標(biāo)；

（2）求三角形面積最大值，以及時(shí)的.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，，；（2）三角形面積最大值為，.

【解析】

（1）先由得到，即可求出；再由得到，即可求出；根據(jù)兩直線的斜率之積，即可判斷直線垂直；

（2）先分別記點(diǎn)到直線的距離為、點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式求出，，表示出，根據(jù)基本不等式求出最值，再由，結(jié)合極限的運(yùn)算，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>可化為，因此易知過點(diǎn)，即；

由可得：，因此直線過點(diǎn)；

又，直線的斜率為；直線的斜率為；所以，因此；

（2）分別記點(diǎn)到直線的距離為、點(diǎn)到直線的距離為，

則，，

由（1）可得：，

所以，

令，，，所以，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，

又，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

綜上三角形面積最大值為；

又兩條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積為

；

所以.