【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.

【答案】見解析

【解析】

以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

求出平面B1EF的法向量為n，平面BDD1B1的一個(gè)法向量為，利用空間向量的數(shù)量積證明

n⊥,即可.

證明：以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意知:D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,0),F(,2,0),

因此=(0,-,-4),=(-, ,0).

設(shè)平面B1EF的法向量為n=(x,y,z)，則n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0.

解得x=y,z=-y,令y=1得n=,

又因?yàn)槠矫鍮DD1B1的一個(gè)法向量為=(-2,2,0),而n·=1×(-2)+1×2×0=0,

即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）．
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②若a+b＞2c，則C＜
③若a3+b3=c3 ， 則C＜
④若（a+b）c≤2ab，則C＞
⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2 ， 則C＞ ．

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（Ⅰ）檢查人員從這15條魚中，隨機(jī)抽出3條，求3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率；
（Ⅱ）若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚，記ξ表示抽到的汞含量超標(biāo)的魚的條數(shù)．以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批數(shù)量很大的魚的總體數(shù)據(jù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

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②若，分別是平面α，β的一個(gè)法向量，則α⊥β·＝0；

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④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直．

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（Ⅱ）設(shè)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S（平方百米），求S的最大值．

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