Question

【題目】現(xiàn)有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運動場地，如圖所示，其中是足球場地邊線所在的直線，球門處于所在直線的正中間位置，足球運動員（將其看做點）在運動場上觀察球門的角稱為視角．

（1）當運動員帶球沿著邊線奔跑時，設(shè)到底線的距離為碼，試求當為何值時最大；

（2）理論研究和實踐經(jīng)驗表明：張角越大，射門命中率就越大．現(xiàn)假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球，運動到視角最大的位置即為最佳射門點，以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，求在球場區(qū)域內(nèi)射門到球門的最佳射門點的軌跡.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）要求得最大，只需最大，利用，將其展開后表示為關(guān)于x的函數(shù)，利用基本不等式求得最值.

（2）設(shè)點，其中，，將表示為關(guān)于x、y的函數(shù)，利用基本不等式求得取到最值時的條件，得到關(guān)于x，y的方程即為點的軌跡..

（1）

，

當且僅當，即時，取得最大值，

又在上單調(diào)遞增，∴當取得最大值時，最大，

∴，取得最大值；

（2）過點作于，設(shè)點，其中，，

∴

，

當且僅當，即時，取得最大值，

此時軌跡方程為，

其表示焦點為，實軸長為8的等軸雙曲線在的一部分．