Question

【題目】設(shè)橢圓，點為其右焦點，過點的直線與橢圓相交于點，.

（1）當(dāng)點在橢圓上運動時，求線段的中點的軌跡方程；

（2）如圖1，點的坐標(biāo)為，若點是點關(guān)于軸的對稱點，求證：點，，共線；

（3）如圖2，點是直線上的任意一點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，求證，，成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析； （3）見解析.

【解析】

（1）設(shè)出中點的坐標(biāo)，利用點的坐標(biāo)得到點的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡得到點的軌跡方程.（2）當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線的方程，代入橢圓橢圓方程化簡后寫出韋達(dá)定理，計算，由此證得點，，共線. 當(dāng)斜率不存在時，由橢圓對稱性,易得結(jié)論成立.（3）設(shè)出的坐標(biāo)，利用（2）的結(jié)果化簡的表達(dá)式，化簡得到結(jié)果為，由此證得，，成等差數(shù)列.

（1），設(shè)，則，在橢圓上，所以所求軌跡方程為.

（2）當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為：，，

將代入橢圓方程并化簡得

其中，

所以，點，，共線，

而當(dāng)斜率不存在時，由橢圓對稱性，，重合，結(jié)論顯然成立，綜上點，，共線；

（3）設(shè)，

由（2）知，

故，，成等差數(shù)列.