【題目】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),左、右焦點(diǎn)F1、F2分別在x軸上,離心率為 ,在其上有一動(dòng)點(diǎn)A,A到點(diǎn)F1距離的最小值是1,過(guò)A、F1作一個(gè)平行四邊形,頂點(diǎn)A、B、C、D都在橢圓E上,如圖所示.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)判斷ABCD能否為菱形,并說(shuō)明理由.
(Ⅲ)當(dāng)ABCD的面積取到最大值時(shí),判斷ABCD的形狀,并求出其最大值.
【答案】解:(I)由題意可得: ,解得c=1,a=2,b2=3.∴橢圓E的方程為 .
(II)假設(shè)ABCD能為菱形,則OA⊥OB,kOAkOB=﹣1.
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),把x=﹣1代入橢圓方程可得: =1,解得y= ,
取A ,則|AD|=2,|AB|=3,此時(shí)ABCD不能為菱形.
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=k(x+1),A(x1 , y1),B(x2 , y2).
聯(lián)立 ,化為:(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= .
∴kOAkOB= = = = = ,
假設(shè) =﹣1,化為k2=﹣ ,因此平行四邊形ABCD不可能是菱形.
綜上可得:平行四邊形ABCD不可能是菱形.
(III)①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),由(II)可得:|AD|=2,|AB|=3,此時(shí)ABCD為矩形,S矩形ABCD=6.
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=k(x+1),A(x1 , y1),B(x2 , y2).
聯(lián)立 ,化為:(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= .
|AB|= = .
點(diǎn)O到直線AB的距離d= .
∴S平行四邊形ABCD=4×S△OAB=
=2× × = .
則S2= = <36,
∴S<6.
因此當(dāng)平行四邊形ABCD為矩形面積取得最大值6
【解析】(I)由題意可得: ,解得c,a,b2 , 即可得出.(II)假設(shè)ABCD能為菱形,則OA⊥OB,kOAkOB=﹣1.分類討論:①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),把x=﹣1代入橢圓方程,解出即可判斷出;②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=k(x+1),A(x1 , y1),B(x2 , y2).把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式kOAkOB=﹣1,看此方程是否有解即可判斷出.(III)①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),由(II)可得:|AD|=2,|AB|=3,此時(shí)ABCD為矩形,S矩形ABCD=6.②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=k(x+1),A(x1 , y1),B(x2 , y2).直線BA的方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|= ,點(diǎn)O到直線AB的距離d= .S平行四邊形ABCD=4×S△OAB= ,即可得出.
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① ② ③
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A.2680種
B.4320種
C.4920種
D.5140種
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A.4
B.6
C.
D.
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