Question

【題目】已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）= ，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期為2的函數(shù)， x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函數(shù)，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x
f（x）是周期為2的函數(shù) f（2）=f（0）=0 函數(shù)解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]時(shí)，
函數(shù)解析式：y=x﹣2 g（x）仍為一次函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，
故在四段內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．
x在[﹣1，0），g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0，∴x=﹣
∴﹣1≤﹣ ＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴0＜ ≤1 解的0＜k≤
x在（1，2]，g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴1＜ ≤2，解的0≤k＜
x在（2，3]，g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴2＜ ≤3，解的0＜k≤
綜上可知，k的取值范圍為：0＜k≤
所以答案是：（0， ]．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇，以及對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的理解，了解二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．