已知函數(shù)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線．當(dāng)時，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義．  求：

求和的表達式；

求的表達式，并寫出其定義域；

 證明：的圖像與的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點．

【小題1】依題意，又由，當(dāng)時，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由得

又由，當(dāng)時，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由

，即得

記由函數(shù)的圖象中第段線段的斜率為，故得

又

∴

由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為1，公比為

因，得 

即

【小題2】當(dāng)時，從（1）可知，即當(dāng)時，

當(dāng)時，即當(dāng)時，由（1）可知

為求函數(shù)的定義域，須對進行討論．

當(dāng)時，

時，，也趨向于無窮大．

綜上，當(dāng)時，的定義域為

當(dāng)時，的定義域為

【小題3】證法1  首先證明當(dāng)時，恒有成立．

對任意的，存在使，此時有

又

即有成立．

其次，當(dāng)，仿上述證明，可知當(dāng)時，恒有成立．

故函數(shù)的圖象與的圖象沒有橫會標(biāo)大于1的交點．


解析:

本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推理和綜合的能力．

【小題1】由斜率分式求出，同樣由斜率公式求出關(guān)于的遞推式，然后求出，

【小題2】由點斜式求出段的的表達式，用極限的方法求出定義域．

【小題3】與沒有交點，只要時，或時恒成立，當(dāng)，由于，只要證

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（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象是曲線C，點是曲線C上的一系列點，

曲線C在點處的切線與y軸交于點。若數(shù)列是公差為2的等差

數(shù)列，且

（1）分別求出數(shù)列與數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，表示的面積，求數(shù)列的前項n和

 

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已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，若在取得極大值2。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若對任意的，求的最大值。

 

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（本小題滿分10分）已知函數(shù)的圖象過原點，且在、處取得極值．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（Ⅱ）若函數(shù)與的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．

 

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    已知函數(shù)的圖象是曲線C，點是曲線C上的一系列點，曲線C在點處的切線與y軸交于點。若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且

    （1）分別求出數(shù)列與數(shù)列的通項公式；

    （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，表示的面積，求數(shù)列的前項n和

 

 

 

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