Question

【題目】已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.

（1）當時，設(shè)，

①寫出方程的解（）；

②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；

（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.

Answer 1

【答案】（1）①②4，6.（2）證明見詳解.

【解析】

（1）①根據(jù)兩個元素之差為3，結(jié)合集合的元素，即可求得；

②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；

（2）采用反證法，假設(shè)不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.

（1）①方程的解有：.

②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：

列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；

中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；

中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；

中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；

中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；

中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；

中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.

這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，

所以k的可能取值有4，6.

（2）證明：不妨設(shè)，記，

，共13個差數(shù).假設(shè)不存在滿足條件的k，

則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，

從而 ①

又

，這與①矛盾.

故假設(shè)不成立，結(jié)論成立.

即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.