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1.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N,G分別是AA1,CD,CB,CC1的中點.
(1)若平行六面體ABCD-A1B1C1D1為棱長是2的正方體,求四面體A1B1D1E的體積和表面積;
(2)求證;MN∥B1D1;
(3)求證:平面EB1D1∥∥平面BDG.

分析 (1)分別求出${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$,${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$,${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$,${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$,由此能求出四面體A1B1D1E的體積和表面積.
(2)由已知得BD∥MN,BD∥B1D1,由此能證明MN∥B1D1
(3)由已知得BD∥B1D1,BG∥D1E,由此能證明平面EB1D1∥∥平面BDG.

解答 (1)解:∵平行六面體ABCD-A1B1C1D1為棱長是2的正方體,
∴${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$=${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1,
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2,
${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4+4}×\sqrt{1+2}$=$\sqrt{6}$,
∴四面體A1B1D1E的體積:
${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}E×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$.
四面體A1B1D1E的表面積:
S=${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$+${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$+${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$+${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$=1+1+2+$\sqrt{6}$=4+$\sqrt{6}$.
(2)證明:∵在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分別是CD,CB,CC1的中點,
∴BD∥MN,BD∥B1D1
∴MN∥B1D1
(3)證明:∵在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N,G分別是AA1,CD,CB,CC1的中點,
∴BD∥B1D1,BG∥D1E,
∵BD∩BG=B,B1D1∩D1E=D1
∴平面EB1D1∥∥平面BDG.

點評 本題考查四面體的體積和表面積的求法,考查直線與直線平行的證明,考查面面平行的證明,是中檔題,解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).

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