Question

若{an}為等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{

1

an

}，{a_n²}，{

an

}（a_n＞0），{lga_n}（a_n＞0），{2 an}，哪些是等比數(shù)列？如果是，公比是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，得其通項(xiàng)公式，再分別得到數(shù)列{

1

an

}，{a_n²}，{

an

}（a_n＞0），{lga_n}（a_n＞0），{2 an}的通項(xiàng)公式，然后利用等比數(shù)列的定義加以判斷．

解答： 解：若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a₁，公比為q，
則

1

an

=

1

a1

•(

1

q

)n-1，這是一個(gè)以

1

a1

為首項(xiàng)，以

1

q

為公比的等比數(shù)列；
a_n=a₁•q^n-1，則an2=a₁²•q^2（n-1），這是一個(gè)以a₁²為首項(xiàng)，以q²為公比的等比數(shù)列；
由a_n＞0，得

an+1

an

=

an+1 an

=

a1•qn a1•qn-1

=

q

，
∴{

an

}（a_n＞0）是以

a1

為首項(xiàng)，以

q

為公比的等比數(shù)列；
由a_n＞0，得

lgan+1

lgan

=

lg(a1•qn)

lg(a1•qn-1)

=

lga1+nlgq

lga1+(n-1)lgq

不是常數(shù)，
∴數(shù)列{lga_n}（a_n＞0）不是等比數(shù)列；
由

2an+1

2an

=2an+1-an=2a1qn-1(q-1)不是常數(shù)，
∴數(shù)列{2 an}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．