Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在x=±1處的切線斜率均為﹣1，給出以下結(jié)論： ①f（x）的解析式為f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；
②f（x）的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；
③f（x）的最大值與最小值之和等于0．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過(guò)原點(diǎn)，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為﹣1，

則有 ，解得a=0，b=﹣4．

所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可見(jiàn)f（x）=x3﹣4x，因此①正確；②令f′（x）=0，得x=± ．因此②不正確；

所以f（x）在[﹣ ， ]內(nèi)遞減，

且f（x）的極大值為f（﹣ ）= ，極小值為f（ ）=﹣ ，兩端點(diǎn)處f（﹣2）=f（2）=0，

所以f（x）的最大值為M= ，最小值為m=﹣ ，則M+m=0，因此③正確．

所以正確的結(jié)論為①③，

故選C．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．