Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

（其中常數(shù)a，b∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)可得

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

，從而解出b，代入求極值點；
（Ⅱ）求導(dǎo)f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，則可化f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

＞0為ax²+2bx-a＜0；從而討論a，b確定不等式ax²+2bx-a＜0的解集即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴對x∈R，f（-x）=-f（x）成立，
∴

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

，
∴2b=0，
∴b=0；
∴f（x）=

x

x2+1

，得f′（x）=

-x2+1

(x2+1)2

；
令f′（x）=0得x=±1；
經(jīng)檢驗x=-1是函數(shù)f（x）的極小值點，x=1是函數(shù)f（x）的極大值點．
（Ⅱ）∵f（x）=

ax+b

x2+1

，
∴f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
由f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

＞0得ax²+2bx-a＜0；
①當a=b=0時，f（x）=0，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；
②當a=0，b≠0時，
＜ⅰ＞b＞0時，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）；
＜ⅱ＞b＜0時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
③當a＞0時，方程ax²+2bx-a=0的兩根x=

-b± a2+b2

a

；
單調(diào)遞增區(qū)間為（

-b- a2+b2

a

，

-b+ a2+b2

a

）；
④當a＜0時，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

-b- a2+b2

a

）和（

-b+ a2+b2

a

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識及其應(yīng)用，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．