Question

已知函數f（x）=a^2x-（3a²+1）•a^x（a＞0且a≠1）在[0，+∞）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：令t=a^x，則y=t²-（3a²+1）t，分a＞1，0＜a＜1兩種情況進行討論，根據復合函數的單調性可得不等式組，從而可解出a的取值范圍．

解答：解：令t=a^x，
（1）若a＞1，則x∈[0，+∞）時t≥1，且t=a^x遞增，
y=t²-（3a²+1）t在（-∞，

3a2+1

2

]遞減，在[

3a2+1

2

，+∞）遞增，
要使f（x）在[0，+∞）上是增函數，
須有a＞1，且

3a2+1

2

≤1，此時無解；
（2）若0＜a＜1，則x∈[0，+∞）時0＜t≤1，且t=a^x遞減，
要使f（x）在[0，+∞）上為增函數，
須有0＜a＜1，且

3a2+1

2

≥1，
解得

3

3

≤a＜1；
綜上，

3

3

≤a＜1．

點評：本題主要考查復合函數的單調性、指數函數及二次函數的單調性問題，熟練掌握復合函數單調性的判斷方法是解決問題的關鍵所在．