Question

設函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若0＜x≤

π

3

，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）先利用倍角公式及兩角和的公式化成正弦型函數(shù)的標準形式，然后根據(jù)周期公式T=

2π

|ω|

求周期；（2）由x的范圍先求出2x+

π

6

的范圍，進而求出2sin(2x+

π

6

)的范圍，得出函數(shù)y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）因為f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
=1-cos2x+

3

sin2x-1
=2sin（2x+

π

6

）．
所以f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π．
（2）∵0＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

2π

3

+

π

6

=

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
故函數(shù)y=f（x）的值域為[1，2]．

點評：本題考查了三角變換及三角函數(shù)的周期性和值域問題，解題的關鍵是利用公式化成正弦型函數(shù)的標準形式．