Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²-（2a+1）x+a+2]e^x（a∈R）．
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=

bx2

lnx2

，當(dāng)a=1時(shí)，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈（1，2），使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=（ax²-x-a+1）e^x=（ax+a-1）（x-1）e^x，對a分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-（x-1）e^x，即可得出單調(diào)性；當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=a(x-

1-a

a

)（x-1）e^x，令

1-a

a

=1，解得a=

1

2

．當(dāng)a=

1

2

時(shí)，當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，比較

1-a

a

與1的大小關(guān)系即可得出單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，2）上單調(diào)遞增．對任意x₁∈（0，2），都有f（x₁）≥f（1）=e．又對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈（1，2），使f（x₁）≥g（x₂），e≥g（x₂），即x₂∈（1，2）時(shí)有解，g（x₂）=

b x 2 2

ln x 2 2

，即存在x₂∈（1，2），使得b≤

eln x 2 2

x 2 2

．令h（x）=

elnx2

x2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=（ax²-x-a+1）e^x=（ax+a-1）（x-1）e^x，
a=0時(shí)，f′（x）=-（x-1）e^x，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=a(x-

1-a

a

)（x-1）e^x，
令

1-a

a

=1，解得a=

1

2

．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′(x)=

1

2

(x-1)2ex≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，

1-a

a

＞1，x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈(1，

1-a

a

)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈(

1-a

a

，+∞)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，

1-a

a

＜1，x∈（-∞，

1-a

a

）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈(

1-a

a

，1)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上可得：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，x∈（-∞，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈(1，

1-a

a

)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈(

1-a

a

，+∞)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，x∈（-∞，

1-a

a

）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈(

1-a

a

，1)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，2）上單調(diào)遞增．
對任意x₁∈（0，2），都有f（x₁）≥f（1）=e．
又對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈（1，2），使f（x₁）≥g（x₂），
∴e≥g（x₂），即x₂∈（1，2）時(shí)有解，
g（x₂）=

b x 2 2

ln x 2 2

，∴存在x₂∈（1，2），使得

b x 2 2

ln x 2 2

≤e，即存在x₂∈（1，2），使得b≤

eln x 2 2

x 2 2

．
令h（x）=

elnx2

x2

，x∈（1，2），h′（x）=

2e(1-2lnx)

x3

，
令h′（x）=0，解得x=

e

，
當(dāng)x∈(1，

e

)時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(

e

，2)時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

e

時(shí)，h（x）的最大值為h(

e

)=

1

2

，
綜上可得：實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論思想方法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．