Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在區(qū)間[2，4]內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）方法一：利用函數(shù)思想進行方程根的判定問題是解決本題的關(guān)鍵．構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍．
方法二：先分離變量再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意列出關(guān)于實數(shù)a的不等式組進行求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞），
∵f′（x）=2[$\frac{1}{x-1}$-（x-1）]=-$\frac{2x（x-2）}{x-1}$，
∵x＞1，則使f'（x）＞0的x的取值范圍為（1，2），
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2），遞減區(qū)間是（2，+∞）；
（2）方法1：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0?x+a+1-2ln（x-1）=0．
令g（x）=x+a+1-2ln（x-1），
∵g'（x）=1-$\frac{2}{x-1}$=$\frac{x-3}{x-1}$，且x＞1，
由g'（x）＞0得x＞3，g'（x）＜0得1＜x＜3．
∴g（x）在區(qū)間[2，3]內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間[3，4]內(nèi)單調(diào)遞增，
故f（x）+x²-3x-a=0在區(qū)間[2，4]內(nèi)恰有兩個相異實根
?$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{g（3）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a+4-2ln2＜0}\\{a+5-2ln3≥0}\end{array}\right.$解得：2ln3-5≤a＜2ln2-4．
綜上所述，a的取值范圍是[2ln3-5，2ln2-4）．
方法2：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0?x+a+1-2ln（x-1）=0．
即a=2ln（x-1）-x-1，令h（x）=2ln（x-1）-x-1，
∵h(yuǎn)'（x）=$\frac{2}{x-1}$-1=$\frac{3-x}{x-1}$，且x＞1，
由h'（x）＞0得1＜x＜3，h'（x）＜0得x＞3．
∴h（x）在區(qū)間[2，3]內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間[3，4]內(nèi)單調(diào)遞減．
∵h(yuǎn)（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）＜h（4），
故f（x）+x²-3x-a=0在區(qū)間[2，4]內(nèi)恰有兩個相異實根?h（4）≤a＜h（3）．
即2ln3-5≤a＜2ln2-4．
綜上所述，a的取值范圍是[2ln3-5，2ln2-4）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識．考查學(xué)生對方程、函數(shù)、不等式的綜合問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題，屬于綜合題型．