Question

設函數(shù)f（x）=（x+1）²-2klnx．
（1）當k=1時，求函數(shù)f（x） 在點P（1，4）處的切線方程
（2）當k＜0時，求函數(shù)g（x）=f'（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）k=1，f（x）=（x+1）²-2lnx．則f′（x）=2x+2-

2

x

．切線的斜率k=f′（1）=2+2-2=2，由此能求出函數(shù)f（x） 在點P（1，4）處的切線方程．
（2）因為g（x）=f'（x），分區(qū)間討論k的取值并根據(jù)a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求出最小值即可．

解答：解：（1）k=1，f（x）=（x+1）²-2lnx．
則f′（x）=2x+2-

2

x

．
∵k=f′（1）=2+2-2=2，
∴函數(shù)f（x） 在點P（1，4）處的切線方程為：
y-4=2（x-1），
整理得2x-y+2=0．
（2）當k＜0時，g（x）=f′（x）=2x+2-

2k

x

．
g（x）=2(x+

-k

x

)+2≥4

-k

+2，
當且僅當x=

-k

時，上述“≥”中取“=”．
①若

-k

∈（0，2]，即當k∈[-4，0）時，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為 4

-k

+2；
②若k＜-4，則 g′(x)=2(1+

k

x2

)在（0，2]上為負恒成立，
故g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，
于是g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為g（2）=6-k．
綜上所述，當k∈[-4，0）時，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為 4

-k

+2；
當k＜-4時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為6-k．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力，a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的靈活運用．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．