Question

如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁中，E，F(xiàn)分別為DD₁，DB的中點(diǎn)．
（1）試判斷EF與平面ABC₁D₁的關(guān)系，并加以證明；
（2）求EF與B₁C所成的角；
（3）求三棱錐B-EFC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證EF∥平面ABC₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC₁D₁內(nèi)一直線平行，連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知EF∥D₁B，滿足定理所需條件；
（2）先根據(jù)線面垂直的判定定理證出B₁C⊥平面ABC₁D₁，而BD₁?平面ABC₁D₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知B₁C⊥BD₁，而EF∥BD₁，根據(jù)平行的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）利用V_B-EFC=V_E-BCF，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點(diǎn)，則EF∥D₁B
∵D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁；
（2）根據(jù)題意可知：B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∵BD₁?平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁，
∵EF∥BD₁，
∴EF⊥B₁C；
（3）V_B-EFC=V_E-BCF=

1

3

•

1

2

•1•

1

2

•

1

2

=

1

24

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的性質(zhì)和三棱錐體積的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．