【題目】已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點,過這兩點分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點.
(1)若的坐標(biāo)為,求的值;
(2)設(shè)線段的中點為,點的坐標(biāo)為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點為,且直線與拋物線交于兩點,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為可得,從而得到拋物線的方程,然后設(shè)出切線切線的方程為,由求得,由切點在拋物線上可得到,即為所求。(2)由(1)得到以線段為直徑的圓為圓。由題意只需考慮斜率為正數(shù)的直線即可,根據(jù)幾何知識得,故的方程為,由弦長公式可得,又,所以,最后根據(jù)可得。
試題解析:
(1)由拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為,得,
則拋物線的方程為.
設(shè)切線的方程為,代入得,
由得,
當(dāng)時,點的橫坐標(biāo)為,
則,
當(dāng)時,同理可得.
綜上得。
(2)由(1)知, ,
所以以線段為直徑的圓為圓,
根據(jù)對稱性,只要探討斜率為正數(shù)的直線即可,
因為為直線與圓的切點,
所以, ,
所以,
所以,
所以直線的方程為,
由消去整理得,
因為直線與圓相交,所以。
設(shè),則,
所以,
所以,
設(shè),因為,所以,
所以,
所以.
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【題目】銳角△ABC中,其內(nèi)角A,B滿足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大;
(2)D為AB的中點,CD=1,求△ABC面積的最大值.
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【題目】以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=2,矩形ABCD內(nèi)接于曲線C1 , A,B兩點的極坐標(biāo)分別為(2, )和(2, ),將曲線C1上所有點的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的一半,得到曲線C2 .
(1)寫出C,D的直角坐標(biāo)及曲線C2的參數(shù)方程;
(2)設(shè)M為C2上任意一點,求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范圍.
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【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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【題目】某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會實踐活動,為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫 (℃)與該小賣部的這種飲料銷量(杯),得到如下數(shù)據(jù):
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均氣溫(℃) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)據(jù)(1)中所得的線性回歸方程,若天氣預(yù)報1月16日的白天平均氣溫7(℃),請預(yù)測該奶茶店這種飲料的銷量.
(參考公式:,)
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【題目】已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為 ,橢圓C上的點到右焦點的最大距離為3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)斜率存在的直線l與橢圓C交于A,B兩點,并且滿足|2 + |=|2 ﹣ |,求直線在y軸上截距的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣2sin2x+2 sinxcosx+1.
(1)求f(x)的最小正周期及對稱中心;
(2)若x∈[﹣ , ],求f(x)的最大值和最小值.
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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)列,若sinB= ,cosB= ,則a+c的值為 .
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