【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為 ,橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離為3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)斜率存在的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),并且滿足|2 + |=|2 ﹣ |,求直線在y軸上截距的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)橢圓C的方程為: =1(a>b>0),半焦距為c.
依題意e= = ,由橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離3,得a+c=3,解得c=1,a=2,
∴b2=a2﹣c2=3,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 =1
(2)解:設(shè)直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立 ,化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)>0,化簡(jiǎn)得3+4k2>m2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
∵|2 + |=|2 ﹣ |,∴ =0.
∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,化為km(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0,
∴km(﹣ )+(1+k2)× +m2=0,
化簡(jiǎn)得7m2=12+12k2.
將k2= ﹣1代入3+4k2>m2.
可得m2 ,又由7m2=12+12k2≥12.
從而∴m2 ,解得m≥ ,或m≤﹣ ,.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ∪
【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為: =1(a>b>0),半焦距為c.依題意e= = ,a+c=3,b2=a2﹣c2 , 解出即可得出.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,△>0,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2).由|2 + |=|2 ﹣ |,可得 =0.x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)與△>0聯(lián)立解出即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的方程為,直線l的方程為,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
若,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
求四邊形PAMB面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
求證:經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四個(gè)小球,從盒子里隨機(jī)摸出兩個(gè)小球,那么事件“摸出的小球上標(biāo)有的數(shù)字之和大于數(shù)字之積”的概率是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)( )
①若a>|b|,則a2>b2
②若a>b,c>d,則a﹣c>b﹣d
③若a>b,c>d,則ac>bd
④若a>b>o,則 > .
A.3個(gè)
B.2個(gè)
C.1個(gè)
D.0個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點(diǎn).
(1)若的坐標(biāo)為,求的值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點(diǎn)為,且直線與拋物線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x﹣ )2+(y+1)2=9,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線OP:θ= (p∈R)與圓C交于點(diǎn)M,N,求線段MN的長(zhǎng).
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【題目】函數(shù)則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)解最多有
A. 4個(gè) B. 7個(gè) C. 10個(gè) D. 12個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),,在拋物線上,的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合(如圖)
(I)寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo);
(II)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo);
(III)求弦所在直線的方程
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