已知函數(shù)，其中是實數(shù)，設為該函數(shù)的圖象上的兩點，且.
⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑵若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直，且，求的最小值；
⑶若函數(shù)的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍.

(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;（2）1；（3）．

解析試題分析：（1）根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)知，分段函數(shù)在時是二次函數(shù)的一部分，有兩個單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間，減區(qū)間，時是對數(shù)函數(shù)，只有一個單調(diào)增區(qū)間；（2）對函數(shù)圖象來講，它在某點處的切線斜率等于該函數(shù)在此點處的導數(shù)，故有，由于，兩點在軸的左邊，，因此有，顯然有，可以表示為關于的函數(shù)，從而求出最小值（，應用基本不等式即可得解）也可以直接湊配出基本不等式的形式，＝利用基本不等式）；（3）這里我們首先分析所處范圍，結(jié)合圖象易知不可能在同一單調(diào)區(qū)間，只能是，那么我們可得出兩點處的切線方程分別為，，兩條切線相同，則有，于是可把表示為（或者）的函數(shù)，把求匠范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．
試題解析：（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為4分
（2），
當時，因為，所以.8分

∴
當且僅當時等號成立，
∴的最小值為1.10分
（3）當或時，，故
當時，函數(shù)的圖象在點的切線方程為

即
當時，函數(shù)在切線方程為
兩切線重合的充要條件是13分
由①及知
由①②得
又，與在都為減函數(shù).
∴16分
考點：（1）單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)圖象的切線及基本不等式；（3）切線與函數(shù)的值域．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=x3+ax-2,(aR).
(l)若f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若，且f(x0)=3，求x0的值；
(3)若，且在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

是定義在上的函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：是其定義域上的增函數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知且，函數(shù)，，記．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域及其零點；
（Ⅱ）若關于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.
(1)求實數(shù)的值；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

湖南省環(huán)保研究所對長沙市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻x的關系為，其中a是與氣象有關的參數(shù)，且，若用每天的最大值作為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作.
(Ⅰ)令，求t的取值范圍；
(Ⅱ)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，。
（1）求的函數(shù)解析式，并用分段函數(shù)的形式給出；
（2）作出函數(shù)的簡圖；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若，且在上的最小值為，求的值.
(3)若，試討論函數(shù)在上零點的個數(shù)情況。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發(fā)建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點，交曲線于點，設．

（1）將△（為坐標原點）的面積表示成的函數(shù)；
（2）若在處，取得最小值，求此時的值及的最小值．

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