Question

給出下列命題：
①在正方體中任意選擇四個不共面的頂點，它們可能是正四面體的四個頂點；
②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
③若一個四棱柱中有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；
④一個棱錐可以有兩條側棱和底面一個棱錐可以有兩個側面和底面垂直；
⑤所有側面都是正方形的四棱柱一定是正方體．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結構特征,棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：①舉例說明正方體中任意選擇四個不共面的頂點，它們可能是正四面體的四個頂點；
②舉例說明底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐；
③舉例說明四棱柱中有兩個側面垂直于底面，該四棱柱不一定為直四棱柱；
④舉例說明一個棱錐不能有兩條側棱和底面垂直；
⑤舉例說明所有側面都是正方形的四棱柱不一定是正方體．

解答： 解：對于①，在正方體中任意選擇四個不共面的頂點，它們可能是正四面體的四個頂點，
正四面體是每個面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的四面體A-CB₁D₁，∴①正確；
對于②，底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，
如底面△ABC為等邊三角形，且AB=VB=VC=BC=AC，
則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；∴②錯誤；
對于③，一個四棱柱中有兩個側面垂直于底面，該四棱柱不一定為直四棱柱，
必須是相鄰的兩個側面才是直四棱柱，∴③錯誤；
對于④，一個棱錐如果有兩條側棱和底面垂直，則這兩條側棱互相平行，∴④錯誤；
對于⑤，所有側面都是正方形的四棱柱不一定是正方體，如底面是菱形時，此時的四棱柱不是正方體，∴⑤錯誤．
綜上，正確的命題是①．
故答案為：①．

點評：本題考查了空間幾何體的應用問題，也考查了正四面體、正三棱錐、正方體、正四棱柱、棱錐的有關概念問題，是綜合題目．