在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面⊥平面，，、分別為、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：⊥；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

解析試題分析：（Ⅰ）證明：⊥，證明兩線垂直，只需證明一線垂直另一線所在的平面，從圖上看現(xiàn)有的平面都不滿足，需重新構(gòu)造，注意到，是邊長為的正三角形，可考慮取中點(diǎn)，連結(jié)，，這樣易證平面，從而可得；（Ⅱ）求三棱錐的體積，在這里的面積不容易求，且Ｂ到平面的距離也不易求，故可等體積轉(zhuǎn)化，換為求三棱錐的體積，由題意，，為的中點(diǎn)，故到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離的，從而可得三棱錐的體積．
試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，．
∵，∴ ．     2分
又∵是正三角形， ∴．    
∵ ，
∴⊥平面．     4分
又在平面內(nèi)，∴⊥．   6分

（Ⅱ）∵是的中點(diǎn)，
∴．    8分
∵平面⊥平面，，∴平面．
又∵，，∴，即點(diǎn)到平面的距離為1．
∵是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離為．      10分
∴．      12分
考點(diǎn)：線面垂直，幾何體的體積．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在中，，，是上的高，沿把折起，使.

（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形為矩形，平面,，平面于點(diǎn)，且點(diǎn)在上.

（1）求證：；
（2）求四棱錐的體積；
（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．

（1）求證：AC⊥BB1；
（2）若P是棱B1C1的中點(diǎn)，求平面PAB將三棱柱分成的兩部分體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形為矩形，平面，為上的點(diǎn)，且平面.

(1)求三棱錐的體積；
(2)設(shè)在線段上，且滿足，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐中，側(cè)棱底面，且底面是邊長為2的正方形，，與相交于點(diǎn)．

（I）證明：；
（II）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)在棱上.

（1）求證：平面平面；
（2）當(dāng)，且時，確定點(diǎn)的位置，即求出的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知三棱錐中，，，為中點(diǎn)，為 中點(diǎn)，且為正三角形。

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：平面⊥平面；
（III）若，，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（文科）長方體中，，，是底面對角線的交點(diǎn).

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求證：平面；
(Ⅲ) 求三棱錐的體積。

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