【題目】如圖,在中,,,,分別為,的中點(diǎn)是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),,.
(1)證明:平面;
(2)若,棱上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,確定點(diǎn) 的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析(2)存在,為的中點(diǎn)
【解析】
(1)要證平面,則證和;證由平面幾何知識(shí)可得,證,只需證,即證平面,利用線面垂直判定可得.
(2),等體積轉(zhuǎn)化,由且,則可解.
(1)依題意得,
所以
因?yàn)?/span>分別為,的中點(diǎn),
所以
因?yàn)?/span>
所以
又因?yàn)?/span>由沿旋轉(zhuǎn)得到,
所以,平面,平面
則平面
所以,即
所以平面
解法一:(2)若,
則
因?yàn)?/span>且
所以,
又
所以為的中點(diǎn)
解法二:(2)因?yàn)?/span>,,,
所以,,
又,所以
由(1)知平面
若,
則,
所以
由(1)知,在中,
,即
解得
所以為正三角形,
即,所以M為的中點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知橢圓過點(diǎn),,是兩個(gè)焦點(diǎn).以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心作半徑為的圓,
(1)求橢圓的方程;
(2)存在過原點(diǎn)的直線,與圓分別交于,兩點(diǎn),與橢圓分別交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在線段上),使得,求圓半徑的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣3|x+1|,設(shè)f(x)的最大值為M.
(1)求M;
(2)若正數(shù)a,b滿足Mab,證明:a4b+ab4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠為了提高生產(chǎn)效率,對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造,為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果,采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度(單位:天)數(shù)據(jù),整理如下:
改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21
改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異?
超過30 | 不超過30 | |
改造前 | ||
改造后 |
(2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù),工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi),保障維護(hù)費(fèi)兩種.對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為T天(即從開工運(yùn)行到第kT天,k∈N*)進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期,每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi),若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行,則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi),而不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi);若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行,則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外,還產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi).經(jīng)測(cè)算,正常維護(hù)費(fèi)為0.5萬元/次;保障維護(hù)費(fèi)第一次為0.2萬元/周期,此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的維護(hù)方案:T=30,k=1,2,3,4.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率,求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一條曲線C在y軸右側(cè),曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到y軸的距離都等于1.
(1)求曲線C的方程;
(2)直線與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),問:在x軸上是否存在定點(diǎn),使得直線與關(guān)于x軸對(duì)稱而與直線的位置無關(guān),若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()過點(diǎn),離心率為.其左、右焦點(diǎn)分別為,,O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線l:與以線段為直徑的圓相切,且直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若滿足,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足:正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個(gè)平面互相垂直,FB∥AE且FB=2EA.
(1)證明:平面EFD⊥平面ABFE;
(2)求二面角E﹣FD﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間,我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng),在國際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí),狠抓質(zhì)量管理,不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量,該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè),將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組:,,,…,,得到如下頻率分布直方圖.
(1)求出直方圖中的值;
(2)利用樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表,中位數(shù)精確到0.01);
(3)現(xiàn)規(guī)定:質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品,質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩,并從中再隨機(jī)抽取2個(gè)作進(jìn)一步的質(zhì)量分析,試求這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率.
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