Question

（1）用綜合法證明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；
（2）用反證法證明：若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求證a，b，c中至少有一個(gè)大于0．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,綜合法與分析法(選修）

專題：綜合題,反證法

分析：（1）由于已知 a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，相加后兩邊同時(shí)除以2，即得所證．
（2）用反證法，假設(shè)a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出現(xiàn)矛盾，從而得到假設(shè)不正確，命題得證．

解答： 證明：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得 2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號(hào)）；
（2）設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x²-2y+

π

2

）+（y²-2z+

π

3

）+（z²-2x+

π

6

）
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∴a+b+c＞0，
這與a+b+c≤0矛盾，
故假設(shè)是錯(cuò)誤的，
故a、b、c中至少有一個(gè)大于0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用綜合法和反證法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．