如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中點，PD⊥BC．求證：
（Ⅰ） PC∥平面BED；
（Ⅱ）△PBC是直角三角形．
考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離
分析：（Ⅰ）先利用中位線的性質證明出 OE∥PC，進而根據(jù)線面平行的判定定理證明出 PC∥平面BDE．
（Ⅱ）先利用線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PDC，進而根據(jù)線面垂直的性質推斷出 BC⊥PC，則△PBC的形狀可判斷．
解答： 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接OE．
在矩形ABCD中，AO=OC．
因為 AE=EP，
所以 OE∥PC．
因為 PC?平面BDE，OE?平面BDE，
所以 PC∥平面BDE．
（Ⅱ）在矩形ABCD中，BC⊥CD．
因為 PD⊥BC，CD∩PD=D，PD?平面PDC，DC?平面PDC，
所以 BC⊥平面PDC．
因為 PC?平面PDC，
所以 BC⊥PC．
即△PBC是直角三角形．
點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應用．考查了學生基礎知識的綜合運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=lgx+x-3的零點所在的區(qū)間是（　　）
A、（1，2）
B、（3，4）
C、（2，3）
D、（0，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={x|x=m+
2
n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，試判斷t是否是集合M的元素；
（2）若x1、x2∈M，試判斷x1+x2及x1x2是否屬于集合M，如果屬于，請給出證明；若不屬于，請給出反例．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=
3
，PC=
5
，PD=2，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）點E為BC的中點時，試判斷PC與平面AEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求證：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某人計劃間種植n棵樹，已知每棵樹是否成活互不影響，成活率為p（0＜p＜1），設ξ表示他所種植的樹中成活的棵數(shù)，ξ的數(shù)學期望為Eξ，方差為Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，標準差σξ=
3
2
，求n，p的值并寫出ξ的分布列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=
6
．
（Ⅰ）證明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E為PA的中點，求三菱錐P-BCE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）用綜合法證明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；
（2）用反證法證明：若a，b，c均為實數(shù)，且a=x2-2y+
π
2
，b=y2-2z+
π
3
，c=z2-2x+
π
6
，求證a，b，c中至少有一個大于0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，G是AC中點，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱錐C-BGF的體積．

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