Question

已知sinα+cosα=

1

5

，且α∈（

π

2

，π）
（Ⅰ）求tanα的值
（Ⅱ）求2sin²（

α

2

+

π

6

）-sin（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα-cosα的值，與已知等式聯(lián)立求出sinα與cosα的值，即可求出tanα的值；
（Ⅱ）原式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將cosα的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）將sinα+cosα=

1

5

①兩邊平方得：1+2sinαcosα=

1

25

，即2sinαcosα=-

12

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
∵α∈（

π

2

，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
聯(lián)立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則tanα=-

4

3

；
（Ⅱ）∵cosα=-

3

5

，
∴原式=1-cos2（

α

2

+

π

6

）-sin（α+

π

6

）=1-cos（α+

π

3

）-sin（α+

π

6

）=1-

1

2

cosα+

3

2

sinα-

3

2

sinα-

1

2

cosα=1-cosα=

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．