Question

19．已知a＞0，b＞0，M=$\frac{a}{\sqrt{a}}$+$\frac{\sqrt{a}}$，N=$\sqrt{a}$+$\sqrt$，則M，N大小關(guān)系為$\left\{\begin{array}{l}{M≥N，當(dāng)a≥b＞0時(shí)}\\{M＜N，當(dāng)0＜a＜b時(shí)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 平方作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)a，b大小關(guān)系分類討論即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，M，N＞0．
∴M²-N²=a+$\frac{^{2}}{a}$+2b-a-b-2$\sqrt{ab}$
=b+$\frac{^{2}}{a}$-2$\sqrt{ab}$
=$\sqrt（\sqrt-\sqrt{a}）$+$\frac{\sqrt（\sqrt{^{3}}-\sqrt{{a}^{3}}）}{a}$，
當(dāng)b≥a＞0時(shí)，由于函數(shù)y=$\sqrt{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴$\sqrt$$＞\sqrt{a}$，$\sqrt{^{3}}$$＞\sqrt{{a}^{3}}$，∴M²＞N²，∴M＞N．
同理可得：當(dāng)a＞b＞0時(shí)，M＜N．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{M≥N，當(dāng)a≥b＞0時(shí)}\\{M＜N，當(dāng)0＜a＜b時(shí)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“平方作差法”、函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法、不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．