Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值；

（3）若，問是否存在實(shí)數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為；（3）存在實(shí)數(shù)滿足條件.

【解析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)的定義，可得，再由等比數(shù)列的定義即可得證；

（2）求得、，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，運(yùn)用單調(diào)性即可得到最小值；

（3）由題意可得對(duì)一切成立．討論，，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性即可得到所求的范圍．

（1）由題意，即，

，

常數(shù)且，為非零常數(shù)，

因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，是遞增數(shù)列，

因而最小值為；

（3）由（1）知，，要使對(duì)一切成立，

即對(duì)一切成立.

當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切恒成立；

當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切恒成立，只需，

，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.

，且， .

綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足條件.