Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線(xiàn)C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 ．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ，直線(xiàn)l：y=kx+ 與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng) ≤k≤2時(shí)，|AB|2+|DE|2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知F（0， ），圓心Q在線(xiàn)段OF平分線(xiàn)y= 上，

因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=﹣ ，

所以 ，即p=1，

因此拋物線(xiàn)C的方程x2=2y．

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)M（x0， ），（x0＞0）滿(mǎn)足條件，

拋物線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)的斜率為

y′ = =x0．

令y= 得， ，

所以Q（ ），

又|QM|=|OQ|，

故 ，

因此 ．又x0＞0．

所以x0= ，此時(shí)M（ ）．

故存在點(diǎn)M（ ），使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切與點(diǎn)M．

（3）解：當(dāng)x0= 時(shí)，由（Ⅱ）的Q（ ），⊙Q的半徑為：r= = ．

所以⊙Q的方程為 ．

由 ，整理得2x2﹣4kx﹣1=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=﹣ ，

所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．

由 ，整理得（1+k2）x2﹣ ，

設(shè)D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x3，y3），（x4，y4），

由于△= ＞0，x3+x4= ，x3x4= ．

所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2﹣4x3x4]= ，

因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+ ，

令1+k2=t，由于△=16k2+8＞0 ，

≤k≤2，∴t≥

則 ，

所以|AB|2+|DE|2=t（4t﹣2）+ =4t2﹣2t+ ，

設(shè)g（t）=4t2﹣2t+ ，t ，因?yàn)間′（t）=8t﹣2﹣ ，

所以當(dāng)t ，g′（t）≥g′（ ）=6，

即函數(shù)g（t）在t 是增函數(shù)，所以當(dāng)t= 時(shí)，g（t）取最小值 ，

因此當(dāng)k= 時(shí)，|AB|2+|DE|2的最小值為 ．

【解析】（1）通過(guò)F（0， ），圓心Q在線(xiàn)段OF平分線(xiàn)y= 上，推出求出p=1，推出拋物線(xiàn)C的方程．（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x0 ， ），（x0＞0）滿(mǎn)足條件，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)的斜率為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出Q的坐標(biāo)，利用|QM|=|OQ|，求出M（ ）．使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切與點(diǎn)M．（3）當(dāng)x0= 時(shí)，求出⊙Q的方程為．利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組．設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達(dá)定理，求出|AB|2 ． 同理求出|DE|2 ， 通過(guò)|AB|2+|DE|2的表達(dá)式，通過(guò)換元，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．