【題目】已知拋物線C：y=（x+1）2與圓 （r＞0）有一個(gè)公共點(diǎn)A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．
（1）求r；
（2）設(shè)m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離．

【答案】
（1）

解：設(shè)A（x0，（x0+1）2），

∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）

∴l(xiāng)的斜率為k=2（x0+1）

當(dāng)x0=1時(shí)，不合題意，所以x0≠1

圓心M（1， ），MA的斜率 ．

∵l⊥MA，∴2（x0+1）× =﹣1

∴x0=0，∴A（0，1），

∴r=|MA|= ；


（2）

解：設(shè)（t，（t+1）2）為C上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1

若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為

∴

∴t2（t2﹣4t﹣6）=0

∴t0=0，或t1=2+ ，t2=2﹣

拋物線C在點(diǎn)（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）處的切線分別為l，m，n，其方程分別為

y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣ ②，y=2（t2+1）x﹣ ③

②﹣③：x=

代入②可得：y=﹣1

∴D（2，﹣1），

∴D到l的距離為


【解析】（1）設(shè)A（x0 ， （x0+1）2），根據(jù)y=（x+1）2 ， 求出l的斜率，圓心M（1， ），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐標(biāo)，即可求得r的值；（2）設(shè)（t，（t+1）2）為C上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為 ，建立方程，求得t的值，求出相應(yīng)的切線方程，可得D的坐標(biāo)，從而可求D到l的距離．
【考點(diǎn)精析】掌握點(diǎn)到直線的距離公式是解答本題的根本，需要知道點(diǎn)到直線的距離為：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+ ， b，c∈R）
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=﹣1，證明：fn（x）在區(qū)間 內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)xn是fn（x）在 內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列x2 ， x3 ， …，xn 的增減性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為 ．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ，直線l：y=kx+ 與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng) ≤k≤2時(shí)，|AB|2+|DE|2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，圓M與y軸相切，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．

（1）求圓M的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)作圓M的兩條互垂直的弦AC、BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球．
（1）求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；
（2）ξ表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求ξ的期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，求f(x)的值域；

(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，試判斷F(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的側(cè)面積為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，且．

(1)求a , b的值；

(2)若，在區(qū)間上的最小值為，最大值為，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中，極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合，直線：（為參數(shù)），圓：.

（Ⅰ）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知是直線上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，求的最小值.

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