Question

討論函數(shù)f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義予以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)1＜x₁＜x₂，判斷

x1+1

x1-1

與

x2+1

x2-1

的大小關(guān)系，討論a即可判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，這樣即可判斷出函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 解：設(shè)1＜x₁＜x₂，則：

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

(x1+1)(x2-1)-(x2+1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

；
∴若0＜a＜1，則loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
若a＞1，則loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：考查單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的過程，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．