Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-1
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求直線y=x和拋物線所圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求出p即可．
（2）先聯(lián)立求出方程組的解，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理即可得出．

解答： 解：（1）由拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-1，
則p=2，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（2）由

y=x y2=4x

解得

x=0 y=0

x=4 y=4

，
則直線y=x和拋物線所圍成的平面圖形的面積S=

∫

4 0

（y-

1

4

y²）dy
=（

1

2

y²-

1

12

y³）|

4 0

=

1

2

×16-

1

12

×64
=8-

16

3

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)及準(zhǔn)線，考查定積分求面積，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理是解題的關(guān)鍵．