Question

17．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P向x軸引垂線交于M，延長MP到N（P在MN中間）使$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ＞0，λ≠1），所得N點(diǎn)軌跡與橢圓有相同的離心率，則λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 確定N點(diǎn)的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+λ²y²=1，利用N點(diǎn)軌跡與橢圓有相同的離心率，建立方程，即可求出λ．

解答 解：設(shè)N（x，y），P（x，y₀），M（x，0），所以（0，y₀）=λ（0，y），則y₀=λy，
∴N點(diǎn)的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+λ²y²=1，
∵λ＞0，λ≠1，
故軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{{λ}^{2}}-2}{\frac{1}{{λ}^{2}}}}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查橢圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．