Question

（1）是否存在銳角α與β，使得（1）α+2β=

2π

3

，（2）tan

α

2

•tanβ=2-

3

同時成立．
若存在，求出α和β的值；若不存在，說明理由．
（2）已知tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，求sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）把條件1的等號兩邊都除以2得到

α

2

+β=

π

3

，兩邊取正切，利用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，并把①代入得到②，然后把①和②聯(lián)立即可求出tan

α

2

和tanβ的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角，根據(jù)α與β是銳角進(jìn)行檢驗得到滿足題意的α和β的值；
（2）因為tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用兩角和正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=

1

1+tan2(α+β)

后得到關(guān)于tan（α+β）的關(guān)系式，把tan（α+β）的值代入即可求出值．

解答：解：（1）由α+2β=

2π

3

得到

α

2

+β=

π

3

，所以tan（

α

2

+β）=

tan α 2 +tan β

1-tan α 2 tanβ

=tan

π

3

=

3

，
把tan

α

2

•tanβ=2-

3

①代入式子中得到：tan

α

2

+tanβ=3-

3

②，
把①②聯(lián)立求得：tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1；
由題知銳角α，當(dāng)tan

α

2

=1時，α=

π

2

矛盾，所以舍去；
當(dāng)tanβ=1時，因為β為銳角，所以β=

π

4

，
根據(jù)α+2β=

2π

3

得到α=

π

6

．
（2）因為tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3
則tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

3

4

，而原式=cos²（α+β）[tan²（α+β）-3tan（α+β）-3]
=

1

1+tan2(α+β)

[tan²（α+β）-3tan（α+β）-3]=

1

1+( 3 4 )2

[(

3

4

)2-3×

3

4

-3]=-3．

點評：考查學(xué)生靈活運用兩角和與差的正切函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運用韋達(dá)定理解決數(shù)學(xué)問題．是一道中檔題．