Question

（1）是否存在銳角α與β，使得（1），（2）同時(shí)成立．
若存在，求出α和β的值；若不存在，說明理由．
（2）已知tanα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，求sin²（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos²（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把條件1的等號(hào)兩邊都除以2得到，兩邊取正切，利用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，并把①代入得到②，然后把①和②聯(lián)立即可求出tan和tanβ的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角，根據(jù)α與β是銳角進(jìn)行檢驗(yàn)得到滿足題意的α和β的值；
（2）因?yàn)閠anα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用兩角和正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=后得到關(guān)于tan（α+β）的關(guān)系式，把tan（α+β）的值代入即可求出值．
解答：解：（1）由得到，所以tan（）==tan=，
把①代入式子中得到：tan+tanβ=3-②，
把①②聯(lián)立求得：tan=1，tanβ=2-或tan=2-，tanβ=1；
由題知銳角α，當(dāng)tan=1時(shí)，α=矛盾，所以舍去；
當(dāng)tanβ=1時(shí)，因?yàn)棣聻殇J角，所以β=，
根據(jù)得到α=．
（2）因?yàn)閠anα，tanβ是方程x²-3x-3=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3
則tan（α+β）==，而原式=cos²（α+β）[tan²（α+β）-3tan（α+β）-3]
=[tan²（α+β）-3tan（α+β）-3]=[-3×-3]=-3．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正切函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決數(shù)學(xué)問題．是一道中檔題．