Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象是斜率為，過(guò)定點(diǎn)的一條直線.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）2

【解析】

對(duì)求導(dǎo)，得到，按和進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意先得到，然后得到的解析式，設(shè)，按和分別討論，利用得到的單調(diào)性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于時(shí)，整數(shù)的最小值.

（1）函數(shù)的定義域是，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

綜上，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）根據(jù)題意，，

設(shè)，代入，可得，

令，

所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以.

所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，

所以關(guān)于x的不等式不能恒成立.

當(dāng)時(shí)，，

令，得.

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為.

令，因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>在上是減函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，.

所以整數(shù)的最小值為.