Question

（2013•唐山一模）已知等比數(shù)列{a_n}滿足a1a2=-

1

3

，a3=

1

9

（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

，求數(shù)列{

bn

an

}的前n項的和．

Answer 1

分析：（I）利用等比數(shù)列的通項公式及已知即可解得a₁及q，即可得到a_n；
（II）對于b_n提取n+1，再利用裂項求和即可得出b_n，即可得到

bn

an

=n•（-3）^n-1．再利用錯位相減法及等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設a_n=a₁q^n-1，依題意，有

a1•a1q=- 1 3 a1q2= 1 9

解得a₁=1，q=-

1

3

．
∴a_n=（-

1

3

）^n-1．
（Ⅱ）b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

=（n+1）[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=（n+1）[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=n．
∴

bn

an

=n•（-3）^n-1．
記數(shù)列{

bn

an

}的前n項的和為S_n，則
S_n=1+2×（-3）+3×（-3）²+…+n×（-3）^n-1，
-3S_n=-3+2×（-3）²+3×（-3）³+…+n×（-3）ⁿ，
兩式相減，得
4S_n=1+（-3）+（-3）²+…+（-3）^n-1-n×（-3）ⁿ=

1-(-3)n

4

-n×（-3）ⁿ，
故S_n=

1-(4n+1)(-3)n

16

．

點評：熟練掌握等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、裂項求和、錯位相減法是解題的關鍵．